Vorlesungen Über die Theorie - Der Abel'schen Integrale #269104

In der vor vierzehn Jahren von Riemann veröffentlichten Schrift: "Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Functionen einer veränderlichen complexen Grösse" finden sich zwei Gedanken ausgesprochen, die von fundamentaler Bedeutung sind.<br><br>Während man bis dahin bei Behandlung solcher Functionen ausging von einem Ausdruck der Function, durch welchen ihr Werth für jeden Werth des Arguments definirt wird, erkannte Riemann, dass es für viele Untersuchungen zweckmässiger und natürlicher ist, die Functionen zu definiren durch gewisse Merkmale ihrer Stetigkeit oder Unstetigkeit Wenn dieser Gedanke auch nicht vollständig neu ist, sondern in seinen ersten Anfängen weiter zurückreicht, so hat doch Riemann zuerst sein volles Gewicht erkannt, und zuerst denselben, entkleidet von aller fremdartiger Beimischung, in allgemeiner und zugleich bestimmter Weise ausgesprochen.<br><br>Vollständig neu ist der zweite Gedanke. Die von Gauss angegebene Methode, die Werthe einer von einem complexen Argument abhängenden Function auf einer Fläche auszubreiten, war nur anwendbar auf einwerthige Functionen.